Nombre pyramidal carré -

Square pyramidal number

Les nombres pyramidaux étaient l'un des rares types de nombres figurés tridimensionnels étudiés dans les mathématiques grecques , dans les œuvres de Nicomaque , Théon de Smyrne et Iamblique . Les formules pour additionner des carrés consécutifs pour donner un polynôme cubique, dont les valeurs sont les nombres pyramidaux carrés, sont données par Archimède , qui a utilisé cette somme comme lemme dans le cadre d'une étude du volume d'un cône , et par Fibonacci , dans le cadre de une solution plus générale au problème de trouver des formules pour des sommes de progressions de carrés. Les nombres pyramidaux carrés faisaient également partie des familles de nombres figurés étudiées par les mathématiciens japonais de l'époque wasan, qui les nommaient « kirei saijo suida ».

Le même problème, formulé comme celui de compter les boulets de canon dans une pyramide carrée, a été posé par Walter Raleigh au mathématicien Thomas Harriot à la fin des années 1500, alors que tous deux étaient en voyage en mer. On dit que le problème du boulet de canon , demandant s'il existe des nombres pyramidaux carrés qui sont également des nombres carrés autres que 1 et 4900, s'est développé à partir de cet échange. Édouard Lucas a trouvé la pyramide à 4900 boules avec un nombre carré de boules et, en faisant connaître plus largement le problème du boulet de canon, a suggéré que c'était la seule solution non triviale. Après des preuves incomplètes par Lucas et Claude-Séraphin Moret-Blanc, la première preuve complète qu'aucun autre nombre de ce type n'existe a été donnée par GN Watson en 1918.

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Si les sphères sont entassées dans des pyramides carrées dont le nombre de couches est 1, 2, 3, etc., alors les nombres pyramidaux carrés donnant le nombre de sphères dans chaque pyramide sont :

Ces nombres peuvent être calculés algébriquement, comme suit. Si une pyramide de sphères est décomposée en ses couches carrées avec un nombre carré de sphères dans chacune, alors le nombre total de sphères peut être compté comme la somme du nombre de sphères dans chaque carré,

${\displaystyle P_{n}}$

$${\displaystyle P_{n}=\sum _{k=1}^{n}k^{2}=1+4+9+\cdots +n^{2},}$$

et cette sommation peut être résolue pour donner un polynôme cubique , qui peut s'écrire de plusieurs manières équivalentes :

$${\displaystyle P_{n}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {2n^{3}+3n^{2}+n}{6} }={\frac {n^{3}}{3}}+{\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{6}}.}$$

Cette équation pour une somme de carrés est un cas particulier de la formule de Faulhaber pour les sommes de puissances, et peut être prouvée par induction mathématique .

( t + 1)( t + 2)(2 t + 3)

/

6

= P _{t + 1}

.

Énumération géométrique

Tous les 30 carrés dans une grille 4 × 4

Ce nombre peut être dérivé comme suit :

• Le nombre de carrés
  1 × 1
  trouvés dans la grille est
  n ²
  .
• Le nombre de
  k × k
  carrés
  (1 ≤ k ≤ n )
  trouvés dans la grille est
  ( n − k + 1) ²
  . Ceux-ci peuvent être comptés en comptant tous les coins supérieurs gauches possibles de
  k × k
  carrés.

Il s'ensuit que le nombre de carrés dans une grille carrée

$${\displaystyle n^{2}+(n-1)^{2}+(n-2)^{2}+(n-3)^{2}+\ldots ={\frac {n(n+ 1)(2n+1)}{6}}.}$$

C'est-à-dire que la solution du puzzle est donnée par le . sont considérées comme équivalentes, le nombre de matrices à coefficients entiers non négatifs sommant à , pour des valeurs impaires de , est un nombre pyramidal carré.

${\displaystyle P_{n}}$

Relations avec d'autres nombres figurés

Une pyramide carrée de boulets de canon au château de Rye en Angleterre

4900 boules disposées en pyramide carrée de côté 24 et en carré de côté 70

Le problème des boulets de canon demande les tailles des pyramides de boulets de canon qui peuvent également être étalées pour former un tableau carré, ou de manière équivalente, quels nombres sont à la fois carrés et pyramidaux carrés. Outre 1, il n'y a qu'un seul autre nombre qui a cette propriété : 4900, qui est à la fois le 70e nombre carré et le 24e nombre pyramidal carré.

Les nombres pyramidaux carrés peuvent être exprimés comme des sommes de coefficients binomiaux :

$${\displaystyle P_{n}={\binom {n+2}{3}}+{\binom {n+1}{3}}.}$$

Les coefficients binomiaux apparaissant dans cette représentation sont des nombres tétraédriques , et cette formule exprime un nombre pyramidal carré comme la somme de deux nombres tétraédriques de la même manière que les nombres carrés sont les sommes de deux nombres triangulaires consécutifs . Si un tétraèdre se réfléchit sur l'une de ses faces, les deux exemplaires forment une bipyramide triangulaire . Les nombres pyramidaux carrés sont aussi les nombres figurés des bipyramides triangulaires, et cette formule peut être interprétée comme une égalité entre les nombres pyramidaux carrés et les nombres bipyramidaux triangulaires. De manière analogue, la réflexion d'une pyramide carrée sur sa base produit un octaèdre, d'où il s'ensuit que chaque nombre octaédrique est la somme de deux nombres pyramidaux carrés consécutifs.

Les nombres pyramidaux carrés sont également liés aux nombres tétraédriques d'une manière différente : les points de quatre copies de la même pyramide carrée peuvent être réarrangés pour former un seul tétraèdre avec deux fois plus de points le long de chaque arête. C'est-à-dire,

$${\displaystyle 4P_{n}=T_{2n}={\binom {2n+2}{3}}.}$$

Autres propriétés

, bien qu'elle converge plus rapidement. Il est:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=1}^{\infty}&(-1)^{i-1}{\frac {1}{P_{i}}}\\&= 1-{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{14}}-{\frac {1}{30}}+{\frac {1}{55}}-{\frac { 1}{91}}+{\frac {1}{140}}-{\frac {1}{204}}+\cdots \\&=6(\pi -3)\\&\environ 0,849556.\ \\end{aligné}}}$$

Dans la théorie de l'approximation , les séquences de nombres impairs, les sommes de nombres impairs (nombres carrés), les sommes de nombres carrés (nombres pyramidaux carrés), etc., forment les coefficients d'une méthode de conversion des approximations de Chebyshev en polynômes .

Les références

Liens externes

• Weisstein, Eric W. , "Nombre pyramidal carré" , MathWorld