Histoire
Les nombres pyramidaux étaient l'un des rares types de nombres figurés tridimensionnels étudiés dans les mathématiques grecques , dans les œuvres de Nicomaque , Théon de Smyrne et Iamblique . Les formules pour additionner des carrés consécutifs pour donner un polynôme cubique, dont les valeurs sont les nombres pyramidaux carrés, sont données par Archimède , qui a utilisé cette somme comme lemme dans le cadre d'une étude du volume d'un cône , et par Fibonacci , dans le cadre de une solution plus générale au problème de trouver des formules pour des sommes de progressions de carrés. Les nombres pyramidaux carrés faisaient également partie des familles de nombres figurés étudiées par les mathématiciens japonais de l'époque wasan, qui les nommaient « kirei saijo suida ».
Le même problème, formulé comme celui de compter les boulets de canon dans une pyramide carrée, a été posé par Walter Raleigh au mathématicien Thomas Harriot à la fin des années 1500, alors que tous deux étaient en voyage en mer. On dit que le problème du boulet de canon , demandant s'il existe des nombres pyramidaux carrés qui sont également des nombres carrés autres que 1 et 4900, s'est développé à partir de cet échange. Édouard Lucas a trouvé la pyramide à 4900 boules avec un nombre carré de boules et, en faisant connaître plus largement le problème du boulet de canon, a suggéré que c'était la seule solution non triviale. Après des preuves incomplètes par Lucas et Claude-Séraphin Moret-Blanc, la première preuve complète qu'aucun autre nombre de ce type n'existe a été donnée par GN Watson en 1918.
Formule
Si les sphères sont entassées dans des pyramides carrées dont le nombre de couches est 1, 2, 3, etc., alors les nombres pyramidaux carrés donnant le nombre de sphères dans chaque pyramide sont :
Ces nombres peuvent être calculés algébriquement, comme suit. Si une pyramide de sphères est décomposée en ses couches carrées avec un nombre carré de sphères dans chacune, alors le nombre total de sphères peut être compté comme la somme du nombre de sphères dans chaque carré,
Énumération géométrique
Il s'ensuit que le nombre de carrés dans une grille carrée
Relations avec d'autres nombres figurés
Le problème des boulets de canon demande les tailles des pyramides de boulets de canon qui peuvent également être étalées pour former un tableau carré, ou de manière équivalente, quels nombres sont à la fois carrés et pyramidaux carrés. Outre 1, il n'y a qu'un seul autre nombre qui a cette propriété : 4900, qui est à la fois le 70e nombre carré et le 24e nombre pyramidal carré.
Les nombres pyramidaux carrés peuvent être exprimés comme des sommes de coefficients binomiaux :
Les nombres pyramidaux carrés sont également liés aux nombres tétraédriques d'une manière différente : les points de quatre copies de la même pyramide carrée peuvent être réarrangés pour former un seul tétraèdre avec deux fois plus de points le long de chaque arête. C'est-à-dire,
Autres propriétés
Dans la théorie de l'approximation , les séquences de nombres impairs, les sommes de nombres impairs (nombres carrés), les sommes de nombres carrés (nombres pyramidaux carrés), etc., forment les coefficients d'une méthode de conversion des approximations de Chebyshev en polynômes .
Les références
Liens externes